Ceci est la traduction en français de mon article publié dans Optics Letters, au sujet d'un laser Nd:YAG bi-polarisation en verrouillage de mode.

Auteurs : Jérémie Boudah Thévenin (Moi), messieurs Marc Vallet et Marc Brunel (mes encadrants de thèse).

Résumé : Nous présentons un laser à état solide en verrouillage de mode contenant un élément biréfringent capable d'émettre de manière synchrone deux peignes de fréquences associées aux deux états propres de polarisation de la cavité. Un modèle analytique prévoit l'évolution de la polarisation du train d'impulsions qui est déterminée par la biréfringence intracavité, qui est réglable. Des expériences réalisées avec un laser Nd:YAG en verrouillage de mode passif par un miroir à semi-conducteur à absorption saturable (SESAM) sont en parfait accord avec le modèle. De plus un verrouillage entre les deux peignes se produit pour des valeurs particulières de leur décalage fréquentiel. Par exemple, quand ce décalage vaut la moitié de la fréquence de répétition, la séquence de polarisation de train d'impulsions est alors régi par la phase relative globale des deux peignes.

Introduction

L'état de polarisation des lasers en verrouillage de mode est généralement fixé par des anisotropies de perte fortes, telles que fenêtres de Brewster, ou un dichroïsme de gain dans des milieux actifs cristallins. La dynamique de ces lasers est bien décrite par les modèles scalaires [1]. Dans les lasers à verrouillage de mode vectoriel, le rôle de la polarisation a été mise en évidence notamment dans les lasers semi-conducteurs et à fibre. Dans les lasers à semi-conducteurs, des cavités extérnes contenant une anisotropie de phase conduit à un basculement de polarisation [2, 3]. Dans les lasers à fibre, la dynamique de polarisation ont été étudiée en détail, car la rotation de polarisation non-linéaire peut conduire à la formation de courte impulsion [4]. En particulier, les lasers à fibre solitoniques vectoriels développe des dynamiques particulières telles que des impulsions dont l'état de polarisation varie librement, ou au contraire un verrouillage de l'état de polarisation des impulsions pour certaines gammes d'anisotropie [5, 6]. Cependant, la polarisation des lasers en verrouillage de mode en espace libre, où les anisotropies, ponctuelles, peuvent être contrôlées avec précision, ont reçu une attention moindre. Notamment, Yang a modélisé un laser à pertes modulées activement contenant une lame quart d'onde unique, prédisant un train d'impulsions dont la polarisation alternerait [7], qui rappellent les lasers à semi-conducteurs auto-modulé en polarisation [2, 8]. Vu que les milieux actifs “massifs” dopés terres rares sont bien adaptés à une oscillation bi-polarisation, aussi bien en régime continu [9, 10] que dans les régimes déclenchés [11], on peut se demander si le verrouillage de mode entraînerait séquences de polarisation pulsée. Par ailleurs, les miroirs absorbeur-saturable à semi-conducteur (SESAM) sont bien connus pour provoquer le verrouillage de mode passif dans les lasers à état solide pompés par diode [12]. Le but de cette article est donc de montrer qu'un laser Nd:YAG en verrouillage de mode grâce à un SESAM peut émettre de manière synchrone deux peignes de fréquences associées aux deux états propres de polarisation. Une cavité à modes hélicoïdaux [13] nous donne accès à des états de polarisation réglables et stables, et permet de comparer les résultats expérimentales avec une analyse modale de type “cavité froide”.

Montage expérimental

Le laser en question est décrit sur la figure 1(a). La cavité de longueur L = 554 mm contient un cristal Nd:YAG de 5 mm de long, et deux lames quart-d'onde (QWPs). Le miroir d'entrée M_A est directement déposé sur le milieu actif tandis que le coupleur de sortie M_B est un SESAM de chez BATOP (5% de profondeur de modulation et 1% de transmission). Deux lentilles, de longueurs focales 25 mm et 15 mm, permettent de focaliser le champ laser dans le milieu actif et sur le SESAM, où les rayons de ceinture du champ sont estimés à 25 µm et 5 µm, respectivement. L'architecture de la cavité prend en compte l'effet de lentille thermique dans le milieu actif, provoqué par le faisceau de pompe de 5W à 808 nm. Le laser oscille à 1064 nm sur un spectre de 60 GHz de large. La largeur d'impulsion est plus courte que 20 fs et la puissance de sortie est environ de 100 mW.

Puisque toutes les interfaces intracavité sont traversées à incidence normale par le champ laser, les états propres de polarisation sont déterminés par les deux lames quart-d'onde ainsi que la biréfringence résiduelle du milieu actif. Les axes neutres de Q1 sont alignés avec les axes neutres de la biréfringence résiduelle du cristal de YAG. Les axes neutres de Q2 sont tournés d'un angle α par rapport à ceux de Q1. Les états propres, déterminés par la condition de résonance sur un seul aller-retour incluant les matrices de Jones [14], (i) linéairement polarisés dans le Nd:YAG à ±45° des axes de Q1, (ii) polarisés hélicoïdalement gauche et droite entre les lames quart-d'onde, et (iii) linéairement polarisés à ±45° des axes de QWP2 en sortie du laser. L'anisotropie de phase sur un aller-retour induite par les lames quart-d'onde est égal à 4α.

États de polarisation en sortie du laser

En supposant que le laser oscille sur deux peignes de fréquence associés aux deux états propres de polarisation, ces peignes doivent être décalés en fréquence de δν = 2α/π × c/2L, l'un par rapport à l'autre, tel que schématisé sur la figure 1(b). Le champ électrique en sortie s'écrit donc, dans le repère des polarisations des états propres en sortie du laser (x, y),

Ici ν_x est la fréquence optique du peigne (polarisé suivant) x, ψ est le déphasage global entre les deux peignes. A(t) représente l'enveloppe des impulsions et f_rep = c/2L est le taux de répétition. De l'équation (1), on déduit les vecteur des Jones J_p de la p-ième impulsion du train, à l'instant t = p / f_rep, qui s'écrivent$\begin{array}{cc}\hfill {\stackrel{\rightharpoonup }{J}}_p=\genfrac{}{}{0.1ex}{}{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ \exp \left(i\right(2\pi p\genfrac{}{}{0.1ex}{}{\delta \nu }{f_{rep}}+\psi \left)\right)\end{array}\right]\hfill & \hfill \text{(2)}\end{array}$

L'équation (2) indique que l'état de polarisation varie d'une impulsion à la suivante, formant des séquences de polarisation dépendantes de δν et ψ. Sans perte de généralité, on suppose dans un premier temps que ψ = 0. Deux exemples sont présentés dans la figure 1(c). Pour le cas δν = f_rep/2, qui sera discuté en détail plus bas, on observe en sortie du laser des impulsions aux polarisation linéaires alternativement à ±45° des axes x et y. Pour δν = f_rep/8, le train d'impulsion consiste en un succession de polarisations elliptiques dont l'ellipticité varie graduellement d'une impulsion à l'autre, illustrant comment le train d'impulsions vient échantilloner l'évolution de l'état de polarisation. Evidemment, la période de l'évolution de la polarisation est celle du battement 1/δν.

Confirmation expérimentale

Dans le but de vérifier ces prédictions, on monitore la sortie du laser pour différentes orientations α des lames quart-d'onde Q1 et Q2, en utilisant le système de détection figuré en 1(a). La combinaison d'une lame demie-onde orientable (H_θ) et d'un séparateur de polarisation (Prisme de Glan), suivi de deux photodiodes InGaAs de bande-passante 2 GHz (D1 et D2), permet de mesurer simultanément ou bien l'intensité des deux états propres ‖E_x‖² et ‖E_y‖², ou bien leur battements ‖E_x ± E_y‖². Dans les séries temporelles présentées sur la figure 2, on a reproduit les battements ‖E_x + E_y‖² (en rouge) et ‖E_x – E_y‖² (en bleu) pour trois valeurs croissantes de δν. Sur la figure 2(a), on a choisi α ≈ 0 ce qui induit δν ≈ 0 : dans ce cas, la polarisation du train d'impulsions est constante, avec le taux de répétition des impulsions f_rep = 271 MHz (1/f_rep = 3,7 ns). Sur la figure 2(b), on a pris α = π/8, et donc δν = f_rep/4 : le train d'impulsions est une séquence de polarisation linéaires puis circulaires (linéaire à +45°, circulaire gauche, linéaire à –45°, circulaire droite). Enfin, on prend α = 7π/30, c'est à dire δν = 7/15 f_rep. Comme δν est proche de f_rep/2, l'ellipticité de la polarisation des impulsions varie lentement comme il apparait sur la figure 2(c). Tous ces chronogrammes sont en accord parfait avec les équations (1)-(2). On a vérifié expérimentalement, quand D1 et D2 regarde ‖E_x‖² et ‖E_y‖² séparément, que les deux trains d'impulsions portés par les deux états propres sont émis de manière synchrone quelque soit la valeur de δν, malgré la différence de leur chemin optique. Cet effet peut être attribué au SESAM qui compense la différence de vitesse de groupe.

Cas de l'accrochage des peignes de modes en quinconce

Nous nous intéressons maintenant au cas particulier δν ≈ f_rep/2. Un effet de verrouillage de phase est observé dans l'intervalle f_rep/2 ± 30 kHz. Pour mettre en relief ce comportement, on mesure le spectre électrique du battement ‖E_x + E_y‖² rapporté sur la figure 3. Il y a un double pic autour de f_rep/2 quand δν est en dehors de la plage d'accrochage (cf le spectre en 3(a) avec sur un intervalle de 2 MHz). Quand δν entre dans la plage d'accrochage, ces deux pics fussionnent en un seul (3(b)). Alors en regardant le spectre sur un intervalle plus grand (2 GHz), on remarque que le peigne de fréquence a une parfaite périodicité de f_rep/2 (3(c)). Les pics dont les fréquences sont égales à n f_rep, n ∈ N, sont les battements bien connus des fréquences des différents au sein d'un même peigne. Au contraire, les pics de fréquences (n + 1/2) f_rep sont les fréquences de battement entre des modes venant de deux peignes différents. La stabilité du spectre dans son ensemble confirme le verrouillage du double peigne de modes. Il est important de noter que la largeur du pic à f_rep/2 qu'on a mesuré égale à 10 Hz, est aussi étroite que le pic à f_rep. On suspecte cet accrochage à f_rep/2 d'être dû à un couplage non-linéaire via un mélange à quatre ondes, comme il a déjà été observé dans les lasers multimodes bi-polarisation continus [15]. Notons également qu'un accrochage similaire est observé à δν = f_rep/3, mais avec une plage d'accrochage plus étroite (≤ 10 kHz).

On se concentre finalement sur une propriété intéressante de cette plage d'accrochage en relation avec la phase globale Ψ. Quand δν = f_rep/2, l'équation (2) devient

On trouve que Ψ gouverne l'évolution de la polarisation du train d'impulsions. Par exemple, quand Ψ = 0, on obtient des impulsions polarisées linéairement, alternativement à ±45° comme sur la figure 1(c). Si Ψ = π/2, on obtient des impulsions circulaires gauche et droite. Expérimentalement, il nous est apparu qu'on pouvait modifier Ψ de manière reproductible en déplaçant légèrement le SESAM suivant l'axe de propagation (de quelques µm). La figure 4 montre les séries temporelles des battements des états propres pour δν verrouillé sur f_rep/2, pour deux valeurs de Ψ. En utilisant l'équations (3), on peut mesurer expérimentalement Ψ à partir du taux de modulation de l'amplitude des impulsions. Les figures 4(a) et 4(b) correspondent respectivement à Ψ = 0 et Ψ = 0,39 rad. Pour toutes les valeurs de Ψ, on a vérifié que le spectre restait identique à celui de la figure 3(c). De plus, nous avons vérifié que deux impulsions successives portaient toujours des états de polarisations orthogonales, c'est à dire E_p˙E_p+1^* = 0 en accord avec l'équation (3). Cela met en exergue le fait que ce verrouillage de phase est différent du verrouillage de polarisation des solitons dans les lasers à fibre qui mènent à une polarisation constante des impulsions [16].

Conclusions

En conclusion, nous avons construit un laser à état solide en verrouillage de modes pulsé passif bi-polarisation. Ce laser oscille sur deux peignes de fréquence, portés par les deux états propres de polarisation. Le train d'impulsion en sortie du laser forme des séquences de polarisation controlable qui résultent des interférences entre les deux peignes polarisés orthogonalement. L'évolution usuelle de la polarisation est ici échantillonée par le train d'impulsion verrouillé en phase. Il est intéressant de noter que, en ajoutant une lame quart-d'onde en sortie du laser, on pourrait obtenir une série d'impulsion toutes polarisées linéairement, mais dont l'orientation varierait d'une impulsion à l'autre. Les résultats expérimentaux sont bien reproduit par une simple analyse modale de type “cavité froide”. On observe un régime de verrouillage de phase quand les deux peignes de fréquence sont disposés en quinconce, c'est à dire décalé de f_rep/2 l'un par rapport à l'autre. Dans ce régime, le role du déphasage global a été isolé.

Les perspectives de ce régime verrouillé en phase bi-polarisation incluent l'extension aux lasers femtosecondes, ainsi que des applications comme, par exemple, l'étude des biréfringence transitoire [17] et de la dynamique quantique des trous légers/lourds [18], ou encore le controle optique des moteurs moléculaires chiraux [19].

Remerciements

Ce travail a été en partie financé par le CPER Ponant. Nous remercions Marco Romanelli et Goulc'hen Loas pour leurs discussions fructueuses.

Références

1. Herman A. Haus, “Mode-locking of lasers”, IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronic 6, 1173 (2000).
2. W. H. Loh, Y. Ozeki, and C. L. Tang, “High-frequency polarization self-modulation and chaotic phenomena in external cavity semiconductor lasers”, Applied Physics Letters 56, 2613 (1990).
3. J. Javaloyes, J. Mulet, and S. Balle, “Passive mode locking of lasers by crossed-polarization gain modula- tion”, Physical Review Letters 97, 163902 (2006).
4. G. P. Agrawal, “Nonlinear fiber optics”, 4th edition (Academic Press, 2007).
5. S. T. Cundiff, B.C. Collings, and W.H. Knox, “Polarization locking in an isotropic, modelocked soliton Er/Yb fiber laser”, Optics Express 1, 12 (1997).
6. L. M. Zhao, D. Y. Tang, X. Wu, H. Zhang, and H. Y. Tam, “Coexistence of polarization-locked and polarization-rotating vector solitons in a fiber laser with SESAM”, Optics Letters 34, 3059 (2009).
7. Q. Yang, “Numerical analysis of a dual polarization mode-locked laser with a quarter wave plate”, Optics Communication 238, 329 (2004).
8. Marc Brunel, Marc Vallet, Guy Ropars, Albert Le Floch, Fabien Bretenaker, G. Joulié, and J. C. Keromnes, “Modal analysis of polarization self-modulated lasers”, Physical Review A 55, 1391 (1997).
9. G. W. Baxter, J. M. Dawes, P. Decker, and D. S. Knowles, “Dual-polarization frequency-modulated laser source”, IEEE Photonic Technology Letters 8, 1015 (1997).
10. Medhi Alouini, B. Benazet, Marc Vallet, Marc Brunel, P. Di Bin, Fabien Bretenaker, Albert Le Floch, P. Thony, “Offset phase locking of Er,Yb:glass laser eigenstates for RF photonics applications”, IEEE Photonic Technology Letters 13, 367 (2001).
11. Marc Brunel and Marc Vallet, “Pulse-to-pulse coherent beat note generated by a passively Q-switched two-frequency laser”, Optics Letters 33, 2524 (2008).
12. Ursulla Keller, “Recent developments in compact ultra-fast lasers”, Nature 424, 831 (2003).
13. V. Evtuhov and Anthony E. Siegman, “A Twisted-Mode Technique for Obtaining Axially Uniform Energy Density in a Laser Cavity”, Applied Optics 4, 142 (1965).
14. Albert Le Floch and G. Stephan, “La condition de résonance dans les lasers anisotropes contenant des lames biréfringentes”, Compte Rendu de l'Académie des Sciences B 277, 265 (1973).
15. Marc Vallet, Marc Brunel, Guy Ropars, Albert Le Floch, and Fabien Bretenaker, “Theoretical and experimental study of eigenstate locking in polarization self-modulated lasers”, Physical Review A 56, 5121 (1997).
16. B. Collings, Steven T. Cundiff, N. N. Akhmediev, J. M. Soto-Crespo, K. Bergman, and W. H. Knox, “Polarization-locked temporal vector solitons in a fiber laser: experiment”, Journal of Optical Society of America B 17, 354 (2000).
17. K. Hartinger and R. A. Bartels, “Pulse polarization splitting in a transient wave plate”, Optics Letters 31, 3526 (2006).
18. A. L. Smirl, X. Chen, and O. Buccafusca, “Ultrafast time-resolved quantum beats in the polarization state of coherent emission from quantum wells”, Optics Letters 23, 1120 (1998).
19. M. Yamaki, K. Hoki, H. Kono, and Y. Fujimura, “Quantum control of a chiral molecular motor driven by femtosecond laser pulses: Mechanisms of regular and reverse rotations”, Chem. Physics 347, 272 (2008).

Tout d'abord quelques définitions :

• athée : personne convaincu qu'il n'existe aucun dieu
• croire : tenir pour vrai = supposer.
• dieu : être suprême
• être : nom. 1. fait d'exister 2. organisme vivant 3. âme

Et maintenant quelques simples déductions :

• aucune expérience n'a pu mettre en évidence une interaction quelconque avec une “âme” distincte du cerveau.
• si dieu est un organisme vivant, il se compose de matière et/ou de diverses formes d'énergie, a priori mesurables.
• aucune expérience n'a pu mettre en évidence une interaction quelconque avec ce genre d'organisme.
• de ce que l'on peut savoir, c'est à dire déduire de l'expérience, dieu pas un être, et a fortiori pas un être suprême.
• donc dieu n'existe pas
• donc je suis athée

Toute sorte d'hypothèse ont été formulées pour répondre aux désordres psychologiques liés au début, à la fin et au sens de la vie. Les théories de dieu(x) sont parmi les plus étranges, puisqu'elles postulent que l'univers doit avoir un début et une fin(alité) tout comme l'humain. De ce qu'on sait, l'univers n'a pas de début (le big bang n'est le début de rien, juste un point chaud de l'univers, comme le cœur des trous noirs). Dire qu'il est nécessaire que l'univers ait un début, mais accepter que dieu n'en ai pas, revient à déplacer le problème. Par ailleurs, toutes ces théories de dieu s'accordent à penser que l'homme occupe une place non-négligeable dans l'univers. Or non seulement la quantité d'humain est plus que négligeable dans l'univers, mais mieux encore les lois de l'univers ne correspondent pas du tout à notre intuition.

D'aucun me diront qu'ils ont fait l'expérience de(s) dieu(x), c'est à dire que le(s) créateur(s) de l'Univers tout Entier a choisi d'interagir avec leur cerveau... Si tel est le cas, alors ils savent que le(s) dieu(x) existe(nt), ils n'ont pas besoin de le supposer (croire ou avoir la foi).

Tout d'abord quelques définitions :

• athée : personne convaincu qu'il n'existe aucun dieu
• croire : tenir pour vrai = supposer.
• dieu : être suprême
• être : nom. 1. fait d'exister 2. organisme vivant 3. âme

Et maintenant quelques simples déductions :

• aucune expérience n'a pu mettre en évidence une interaction quelconque avec une “âme” distincte du cerveau.
• si dieu est un organisme vivant, il se compose de matière et/ou de diverses formes d'énergie, a priori mesurables.
• aucune expérience n'a pu mettre en évidence une interaction quelconque avec ce genre d'organisme.
• de ce que l'on peut savoir, c'est à dire déduire de l'expérience, dieu pas un être, et a fortiori pas un être suprême.
• donc dieu n'existe pas
• donc je suis athée

Toute sorte d'hypothèse ont été formulées pour répondre aux désordres psychologiques liés au début, à la fin et au sens de la vie. Les théories de dieu(x) sont parmi les plus étranges, puisqu'elles postulent que l'univers doit avoir un début et une fin(alité) tout comme l'humain. De ce qu'on sait, l'univers n'a pas de début (le big bang n'est le début de rien, juste un point chaud de l'univers, comme le cœur des trous noirs). Dire qu'il est nécessaire que l'univers ait un début, mais accepter que dieu n'en ai pas, revient à déplacer le problème. Par ailleurs, toutes ces théories de dieu s'accordent à penser que l'homme occupe une place non-négligeable dans l'univers. Or non seulement la quantité d'humain est plus que négligeable dans l'univers, mais mieux encore les lois de l'univers ne correspondent pas du tout à notre intuition.

D'aucun me diront qu'ils ont fait l'expérience de(s) dieu(x), c'est à dire que le(s) créateur(s) de l'Univers tout Entier a choisi d'interagir avec leur cerveau... Si tel est le cas, alors ils savent que le(s) dieu(x) existe(nt), ils n'ont pas besoin de le supposer (croire ou avoir la foi).

Vous êtes unique, comme tout le monde

Quand quelqu'un demande pourquoi on fait telle chose de telle façon, on répond souvent en disant “je suis ...-iste” (dans mon cas libriste, minimaliste, écologiste, bouddhiste, ...). Mais en réalité c'est une mauvaise réponse à une question par ailleurs mal posée (comme souvent). En effet, la question est en fait : “Pourquoi ne vis-tu pas comme tout le monde”, et la vraie réponse est “nous sommes tous différents”. Répondre “je suis ...-iste”, c'est se justifier d'être comme on est en utilisant une idéologie, un groupe de personne, comme bouclier.

Le moyen est plus important que la fin

On me demande souvent pourquoi je préfère me déplacer à pied. De toute évidence, j'attendrai plus rapidement ma destination avec n'importe quel autre moyen de transport. Mais le plaisir de la randonnée n'est pas d'atteindre une destination. Se balader, prendre son temps, pouvoir allez presque partout et découvrir des milliers de petites et de grandes choses auxquelles on ne fait habituellement pas attention, c'est pour ça que je marche.

Au cours des dernières années, je me suis séparé de près des deux tiers des objets que je possédais, soit parce qu'ils me gênaient, soit simplement parce qu'il ne m'apportait rien. Du coup malgré mon doctorat, j'ai pu garder le temps, l'énergie (et l'argent !) pour être un petit-ami potable, un webmaster hackiviste à peu près réactif et un marcheur au long cours. J'ai également résisté autant que possible aux infinies tentations de la vie occidentale, notamment à l'achat d'une voiture. Il y a quelques mois j'ai appris que cette façon de faire portait un nom : le minimalisme. Beaucoup de gens semblent penser que le minimalisme c'est vivre avec juste de quoi remplir un sac à dos et une maison aux murs blancs sans meubles ni photos aux murs. Penser cela c'est confondre la destination et la balade, le travail avec le salaire, le jeu avec le gain, le moyen avec le résultat.

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Quand quelqu'un demande pourquoi on fait telle chose de telle façon, on répond souvent en disant “je suis ...-iste” (dans mon cas libriste, minimaliste, écologiste, bouddhiste, ...). Mais en réalité c'est une mauvaise réponse à une question par ailleurs mal posée (comme souvent). En effet, la question est en fait : “Pourquoi ne vis-tu pas comme tout le monde”, et la vraie réponse est “nous sommes tous différents”. Répondre “je suis ...-iste”, c'est se justifier d'être comme on est en utilisant une idéologie, un groupe de personne, comme bouclier.

Le moyen est plus important que la fin

On me demande souvent pourquoi je préfère me déplacer à pied. De toute évidence, j'attendrai plus rapidement ma destination avec n'importe quel autre moyen de transport. Mais le plaisir de la randonnée n'est pas d'atteindre une destination. Se balader, prendre son temps, pouvoir allez presque partout et découvrir des milliers de petites et de grandes choses auxquelles on ne fait habituellement pas attention, c'est pour ça que je marche.

Au cours des dernières années, je me suis séparé de près des deux tiers des objets que je possédais, soit parce qu'ils me gênaient, soit simplement parce qu'il ne m'apportait rien. Du coup malgré mon doctorat, j'ai pu garder le temps, l'énergie (et l'argent !) pour être un petit-ami potable, un webmaster hackiviste à peu près réactif et un marcheur au long cours. J'ai également résisté autant que possible aux infinies tentations de la vie occidentale, notamment à l'achat d'une voiture. Il y a quelques mois j'ai appris que cette façon de faire portait un nom : le minimalisme. Beaucoup de gens semblent penser que le minimalisme c'est vivre avec juste de quoi remplir un sac à dos et une maison aux murs blancs sans meubles ni photos aux murs. Penser cela c'est confondre la destination et la balade, le travail avec le salaire, le jeu avec le gain, le moyen avec le résultat.